# 数学 · 推导与证明：AI任务边界证据

版本 2026-10-19.boundary.1；截至 2026-10-19；整理 2026-10-19

全模块16个代表任务切片；当前聚焦1个M01；不是完整职业清单或任务覆盖比例。
主轴按原始材料公开日期；实验/上线时点另列。历史空白仅表示本次未收录证据；后来的质疑不偷偷改写早期结果。
任务定义、验收和术语是今天整理的对照框架；历史筛选只约束证据公开时间，不代表这些说明在当时已经存在。
实际覆盖比例：未知（null）

# M01 数值推导：先确定你要验收哪种正确：试点准备材料

模块 2026-10-19.boundary.1；方法整理 2026-10-16
证据状态 active；实际覆盖比例未知（null）
这是准备模板，不启动执行。

得到对的数字，不一定给出了成立的推导。先区分答案、推理步骤和形式证明，再选择核验方法。
适配：本案例是多步数值推导。形式证明只作为关联M03独立阅读，不把答案评测当证明。

## 交接与验收
1. 明确题意与产物（人决定）：说明变量、单位和条件；明确要数值答案还是成立推导。
   产物：题意、条件与验收目标
   门槛：条件不能偷偷替换
   编辑安排：本步骤是本站为交付和接收提出的组织安排；没有本地逐步成功率。

2. 列出推导与表达式（AI草拟）：逐步把条件变成表达式，列出每一步依据。
   产物：带条件的推导草稿
   门槛：每一步运算前先核对语义
   编辑安排：本步骤是本站为交付和接收提出的组织安排；没有本地逐步成功率。

3. 复算与反例检查（程序执行）：复算数值；检查单位、边界条件和错误表达式。
   产物：复算记录与反例
   门槛：结果相同不代表过程等价
   编辑安排：本步骤是本站为交付和接收提出的组织安排；没有本地逐步成功率。
   - 有限直接支持：限定数值问答的程序执行方法；未测本资源约束题；https://arxiv.org/html/2211.12588v4；v4 表2 GSM8K
   - 适用条件：不同训练在不同任务迁移不一致，需匹配目标任务；https://arxiv.org/html/2507.00432v2；v2 表1
4. 核对过程并接收（人核验）：审查推导是否成立；需要形式证明时另走M03核验命题语义与内核。
   产物：接收/拒绝理由
   门槛：没有过程证据不能宣称证明完成
   编辑安排：本步骤是本站为交付和接收提出的组织安排；没有本地逐步成功率。
   - 适用条件：模型裁判的过程接受不等同形式证明；https://arxiv.org/html/2506.14245v2；v2 §3及裁判方法

## 人工构造、未执行AI任务的产物格式
【人工构造，未执行AI任务】
题意：甲每小时3件、乙每小时2件；速度恒定、无重复计数，共工作4小时。
推导：(3 + 2) × 4 = 20件。
答案核对：是否为20件。
过程核对：是否把两人的速度相加，并使用相同单位与共同工作时长。
失败例：直接写20件但无依据，不能据此接受“完整推导”。

工作型扩展【仍为人工构造】：安排两类不可拆工作包x、y；每包分别占2和5人时、收益3和4单位；总人时≤40，总包数≤12，设备只允许y≤8。要求x,y为非负整数，最大化3x+4y。
可行候选x=7,y=5：用39人时、12包、设备5，收益41。按y=0至8枚举，并取x=min(12-y, floor((40-5y)/2))的非负值，可独立核对最优41。
失败候选x=20/3,y=16/3虽给连续上界124/3，却违反整数条件。若设备上限改为4，则应重算为x=8,y=4、收益40；不能沿用旧答案。
交付需包括条件表、单位、整数性、枚举/求解输入、可行性核验、边界与改题结果。
小例子仅解释验收差异；未形成研究级数学证明或模型成绩。

## 失败与接管
- 数字正确，却用不成立的中间等式：答案命中可能掩盖过程错误。逐步检查依据；不能修正则拒绝推导
- 多次尝试找到答案，只保留成功一条：隐藏尝试预算、挑选成本和失败。记录全部尝试与选取规则；不把Pass@K当单次保证
- 连续解很好看，但工作包不可拆分：题意到模型时遗漏整数约束，答案不具可执行性。返回条件表，按整数重新求解并核对资源上限

## 限定试点
范围：一组条件明确、可独立复算的数值题；不扩大成开放证明或教学效果
基线：保存同一题意下人的答案/过程核验方式；分别计时
验收：
- 答案与单位可复算
- 每个推导步骤有依据、原条件未改
- 重复尝试/裁判配置/人的核验独立记录
分别记录人时：活动人时：题意确认；活动人时：人工过程审查；活动人时：复算；活动人时：反例与边界检查；活动人时：返工；活动人时：提示、交互与监督；活动人时：接管与适用的维护；另记：机器运行、等待及端到端历时；重叠活动不重复累计；若等待占用本人，注明计量约定
停止：题意被替换、过程不成立或裁判无法确认时，拒绝推导并由人接管

## 回执（实际发生后再填）
任务/版本/资料与环境：____
已授权范围与工具配置：____
实际输入/产物路径：____
全部尝试与逐项验收：____
最终接收/拒绝与接管：____
基线/准备/核验/返工人时：____
未知与未验证项：____
提示/交互/监督/接管/适用维护的活动人时；机器运行/等待/端到端历时及重叠计量约定：____
未经实际执行和逐项验收，状态保持未验证；默认本地保存，不上传。

## 条件比较
- 程序执行接口（部分覆盖）：GSM8K 1,318题；固定小学多步题
  设置：同Codex；少样本贪心CoT/PoT
  最终答案准确率：63.1% → 71.6%
  限制：不是逐步推导全部正确，也不代表高难证明
- 答案覆盖研究（方法参考）：AIME24与MATH500固定题集；Qwen2.5-7B-Base / SimpleRL-Qwen2.5-7B
  设置：答案覆盖；AIME24 K=1024、MATH500 K=128，主实验T=0.6
  Pass@K：高预算覆盖可能接近；保留定性
  限制：有限预算、不判所有过程；不同论文模型/条件不同
- 过程裁判研究（方法参考）：AIME等数学题；Qwen2.5-32B/DAPO32B
  设置：每条推导由模型裁判3次：any至少1次接受，all全部接受，majority多数接受；K为生成候选数量，最高1024
  CoT-Pass@K：AIME24/25高K下答案覆盖可接近，裁判接受的过程覆盖仍有差距；定性
  限制：依赖模型裁判，不是形式内核；未转录曲线数值

## 原始材料
- [GSM8K：多步应用题与验证器](https://arxiv.org/html/2110.14168v1)；所引用版本公开2021-10-27；阅读2026-10-14；状态active；§2数据；§4.2验证器；§4与附录C计算器；英语小学应用题，计算器和多候选验证配置；不等于研究数学
- [GPT-4技术报告首稿](https://arxiv.org/html/2303.08774v1)；所引用版本公开2023-03-15；阅读2026-10-14；状态active；表2 GSM-8K；附录E训练集使用；5-shot思维链，训练含部分GSM8K训练集；最终答案分不保证每步论证正确
- [Program of Thoughts：外部计算接口（v4）](https://arxiv.org/html/2211.12588v4)；所引用版本公开2023-10-23；阅读2026-10-15；状态active；§2.2；§3.1数据/实现/指标；§3.2表2；同底层模型改变提示与执行流程；未匹配完整延迟/预算；不是端到端财务工作通过率
- [RLVR答案覆盖研究（v5）](https://arxiv.org/html/2504.13837v5)；所引用版本公开2025-11-24；阅读2026-10-15；状态active；§3设置；表2；附录C.7覆盖与C.8温度分析；有限采样只测答案命中；特定模型/任务结果不等于所有推理机制；不与另一论文合并效应
- [RLVR推理过程核验研究（v2）](https://arxiv.org/html/2506.14245v2)；所引用版本公开2025-10-02；阅读2026-10-15；状态active；§3.1图2；§3.2图3；附录A.3裁判方法；推理过程由模型裁判判定，有any/all/majority规则；不是形式证明内核，图值未可靠转录则定性
- [数学训练迁移的Qwen3-14B比较（v2）](https://arxiv.org/html/2507.00432v2)；所引用版本公开2025-10-20；阅读2026-10-16；状态active；表1；§2.2；附录A.3；训练问题相同不代表总算力相同；ACPBench并非真实工作交付


## M01 写出多步数值问题的推导
输入：文字应用题、数量与单位
交付：答案、步骤及可重算表达式
人负责：核对单位、条件与每一步理由
证据适配：GSM8K是小学应用题的相近测试；不是专业数学工作覆盖率
验收：数字可重算；条件无遗漏；步骤与答案一致

### 公开 2021-10-27 多候选加验证器开始改善多步计算
证据类型：限定评测；方式：人机协作
当前引用状态：BM01 active · 当前可引用（不等于现场验证）。
GSM8K包含约8500道2–8步应用题；专门训练的验证器在多候选中选答案，比微调基线更有效。
AI参与动作：模型生成多个推导候选，训练出的验证器排序选择，计算器辅助算术。
配置：GPT-3系列微调，生成多个候选并排序；计算器注释
指标：论文对照发现改进；本条未摘录数值通过率
事件/运行：精确日期未披露
日期依据：按该条支持材料的公开日期进入时间轴；不是实验统一发生日
意义：推导并非生成一次就可靠；候选与核对环节开始成为工作流。
比较：任务/配置或指标不同，不计算统一增长率
限制：验证器判断不等于数学证明；英语小学题不是专业工作样本。
- [GSM8K：多步应用题与验证器](https://arxiv.org/html/2110.14168v1)：§2数据；§4.2验证器；§4与附录C计算器；公开2021-10-27；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；英语小学应用题，计算器和多候选验证配置；不等于研究数学

### 公开 2023-03-15 通用模型在应用题上取得高分
证据类型：限定评测；方式：人机协作
当前引用状态：BM02 active · 当前可引用（不等于现场验证）。
GPT-4首稿在GSM8K报告92.0%最终答案正确。
AI参与动作：通用模型生成多步推导与数字答案；指定应用题最终答案准确率92.0%。
配置：5-shot思维链；预训练含部分GSM8K训练集
指标：指定测试最终答案准确率
事件/运行：精确日期未披露
日期依据：按该条支持材料的公开日期进入时间轴；不是实验统一发生日
意义：可以让模型起草推导，再独立重算数字与步骤。
比较：任务/配置或指标不同，不计算统一增长率
限制：训练与提示不同于2021验证器；分数不证明每个中间步骤可靠。
- [GPT-4技术报告首稿](https://arxiv.org/html/2303.08774v1)：表2 GSM-8K；附录E训练集使用；公开2023-03-15；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；5-shot思维链，训练含部分GSM8K训练集；最终答案分不保证每步论证正确

### 公开 2023-10-23 文字推导与程序计算分工
证据类型：限定评测；方式：人机协作
当前引用状态：BF06 active · 当前可引用（不等于现场验证）。
GSM8K测试1,318题；同一表2中Codex CoT 63.1%、PoT 71.6%，采用少样本贪心设置。
AI参与动作：模型生成计算表达，由解释器算出数值；推导语义仍须核对。
配置：code-davinci-002；Python3.8/SymPy；同论文提示/执行系统比较
指标：最终答案准确率，不是每条推导正确率
事件/运行：精确日期未披露
日期依据：按所引用固定版本的公开日进入；不是首次发现或运行日
意义：数值答案可由执行器复算；题意到表达式的转换不因能运行而自动正确。
比较：只解释这一来源/任务/配置；不与其他题集连成增长曲线
限制：小学多步题，不代表高难证明或自然语言推导全通过。
- [Program of Thoughts：外部计算接口（v4）](https://arxiv.org/html/2211.12588v4)：§2.2；§3.1数据/实现/指标；§3.2表2；公开2023-10-23；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；同底层模型改变提示与执行流程；未匹配完整延迟/预算；不是端到端财务工作通过率

### 公开 2025-10-02 答案命中与推理过程判定给出不同图景
证据类型：限定评测；方式：人机协作
当前引用状态：BM12 active · 当前可引用（不等于现场验证）。
Wen等在Qwen2.5-32B/DAPO-Qwen-32B的AIME24/25配置中观察：高K下答案覆盖可接近，但裁判接受的过程覆盖仍有差距；只保留定性图结论。
AI参与动作：重复生成解答，再由模型裁判检查过程；这不是无需人的正式证明。
配置：Qwen2.5-32B与DAPO-Qwen-32B；DeepSeek-R1-0528-Qwen3-8B裁判，每条推导裁判3次；any至少1次接受/all全部接受/majority多数接受；生成候选K最高1024
指标：最终答案与裁判接受的推理过程是不同目标
事件/运行：精确日期未披露
日期依据：按所引用固定版本的公开日进入；不是首次发现或运行日
意义：选择验收对象会改变所谓能力边界；需要核对过程和裁判可靠性。
比较：只解释这一来源/任务/配置；不与其他题集连成增长曲线
限制：图值未数字化；依赖模型裁判，不能称Lean内核通过或无争议正确推理。
- [RLVR推理过程核验研究（v2）](https://arxiv.org/html/2506.14245v2)：§3.1图2；§3.2图3；附录A.3裁判方法；公开2025-10-02；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；推理过程由模型裁判判定，有any/all/majority规则；不是形式证明内核，图值未可靠转录则定性

### 公开 2025-11-24 多次尝试的答案覆盖不等于单次可靠
证据类型：限定评测；方式：人机协作
当前引用状态：BM11 active · 当前可引用（不等于现场验证）。
Yue等在特定模型/题集上比较不同采样K的答案覆盖；高预算下基础模型与RLVR模型的覆盖可能接近。
AI参与动作：通过重复采样寻找正确答案；每次尝试与推理正确性需要另外核验。
配置：Qwen2.5-7B-Base 与 SimpleRL-Qwen2.5-7B；AIME24 K=1024、MATH500 K=128；主实验T=0.6；仅选固定v5这一组作方法参考
指标：Pass@K：K次中至少一次答案命中，不是单次或过程保证
事件/运行：精确日期未披露
日期依据：按所引用固定版本的公开日进入；不是首次发现或运行日
意义：记录全部尝试和选答案成本，不能只展示最终成功的一次。
比较：只解释这一来源/任务/配置；不与其他题集连成增长曲线
限制：有限采样与不同题目/训练条件；不据此断言RL永远没有新能力。
- [RLVR答案覆盖研究（v5）](https://arxiv.org/html/2504.13837v5)：§3设置；表2；附录C.7覆盖与C.8温度分析；公开2025-11-24；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；有限采样只测答案命中；特定模型/任务结果不等于所有推理机制；不与另一论文合并效应

## 术语速查
形式化 / Lean：把问题与条件写为机器可检查的逻辑命题；Lean检查所写命题的证明，人检查它是不是原问题。
CoT / pass@k：CoT是先生成推理步骤；Pass@K表示在指定评测标准下生成K个候选，至少一个通过的题目比例。M01的答案Pass@K核对最终答案，CoT-Pass@K另由模型裁判检查过程；两者都不等于形式证明内核通过。
自然语言核对器：用模型检查候选论证的语言流程，可能漏错；与严格规则的证明内核不同。
复数标量乘法：一次复数与复数相乘的算术操作计数；不能直接当成实数乘法次数或程序运行时间。

## 方法与材料
覆盖的含义：在指定输入、环境和验收下，材料支持AI参与哪些动作；未知比例保持null。
速度的含义：证据节点之间的日历间隔、流程交接变化；指标/样本/预算不一致时，不计算能力增长率或外推一年三年。
综述用于发现任务和原始文献；每条公开主张引用原始论文/官方记录。转载及同一文献家族不累计成独立验证。
目的性选择三个领域的代表任务，不是穷尽检索或无偏职业采样；基础时间轴于2026-10-14核对，本次精选补充与证据截止2026-10-15，固定论文优先，不把动态榜排名倒填历史。
- [GSM8K：多步应用题与验证器](https://arxiv.org/html/2110.14168v1)；公开2021-10-27；阅读2026-10-14；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；§2数据；§4.2验证器；§4与附录C计算器；英语小学应用题，计算器和多候选验证配置；不等于研究数学
- [GPT-4技术报告首稿](https://arxiv.org/html/2303.08774v1)；公开2023-03-15；阅读2026-10-14；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；表2 GSM-8K；附录E训练集使用；5-shot思维链，训练含部分GSM8K训练集；最终答案分不保证每步论证正确
- [数学推理综述](https://arxiv.org/html/2506.08446v1)；公开2025-06-10；阅读2026-10-14；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；§3推理组成；§4方法；§5–6局限；综述用于任务框架与机制，不回填更早年份的已知成绩
- [自动形式化综述](https://arxiv.org/html/2505.23486v1)；公开2025-05-29；阅读2026-10-14；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；formalization定义；评测/语义对齐讨论；机器核查形式命题不保证与自然语言原问题等价
- [Program of Thoughts：外部计算接口（v4）](https://arxiv.org/html/2211.12588v4)；公开2023-10-23；阅读2026-10-15；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；§2.2；§3.1数据/实现/指标；§3.2表2；同底层模型改变提示与执行流程；未匹配完整延迟/预算；不是端到端财务工作通过率
- [RLVR答案覆盖研究（v5）](https://arxiv.org/html/2504.13837v5)；公开2025-11-24；阅读2026-10-15；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；§3设置；表2；附录C.7覆盖与C.8温度分析；有限采样只测答案命中；特定模型/任务结果不等于所有推理机制；不与另一论文合并效应
- [RLVR推理过程核验研究（v2）](https://arxiv.org/html/2506.14245v2)；公开2025-10-02；阅读2026-10-15；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；§3.1图2；§3.2图3；附录A.3裁判方法；推理过程由模型裁判判定，有any/all/majority规则；不是形式证明内核，图值未可靠转录则定性
- [数学训练迁移的Qwen3-14B比较（v2）](https://arxiv.org/html/2507.00432v2)；公开2025-10-20；阅读2026-10-16；当前状态 active · 当前可引用（不等于现场验证）；表1；§2.2；附录A.3；训练问题相同不代表总算力相同；ACPBench并非真实工作交付